บทที่ 1

แนวคิดพื้นฐาน.

§สิบเอ็ด มุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง

1. มุมที่อยู่ติดกัน

ถ้าเราขยายด้านของมุมใดๆ เลยจุดยอด เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): / และดวงอาทิตย์และ / SVD โดยด้าน BC ด้านหนึ่งเป็นเรื่องธรรมดา และอีกสองด้าน A และ BD เรียงกันเป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเป็นมุมร่วมและอีกสองมุมเป็นเส้นตรง เรียกว่า มุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นที่กำหนด) เราจะได้มุมที่อยู่ติดกัน
ตัวอย่างเช่น, / ADF และ / FDВ - มุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมที่อยู่ติดกันจะรวมกันเป็นมุมตรง ดังนั้น umma ของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากัน 2ง.

ดังนั้น มุมฉากจึงสามารถกำหนดเป็นมุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบขนาดของมุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่ง เราก็สามารถหาขนาดของมุมอีกมุมที่อยู่ติดกันได้

ตัวอย่างเช่น ถ้ามุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันคือ 3/5 งจากนั้นมุมที่สองจะเท่ากับ:

2ง- 3 / 5 ง= ลิตร 2/5 ง.

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านข้างของมุมเกินจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในการวาด 75 มุม EOF และ AOC จะเป็นแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งอยู่ต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

อนุญาต / 1 = 7 / 8 ง(รูปที่ 76) ที่อยู่ติดกันนั่นเอง / 2 จะเท่ากับ 2 ง- 7 / 8 งเช่น 1 1/8 ง.

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณได้ว่าพวกมันมีค่าเท่ากับเท่าใด / 3 และ / 4.
/ 3 = 2ง - 1 1 / 8 ง = 7 / 8 ง; / 4 = 2ง - 7 / 8 ง = 1 1 / 8 ง(แผนภาพที่ 77)

เราเห็นสิ่งนั้น / 1 = / 3 และ / 2 = / 4.

คุณสามารถแก้ไขปัญหาเดียวกันได้อีกหลายอย่าง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน: มุมแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ การพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละรายการนั้นไม่เพียงพอ เนื่องจากบางครั้งข้อสรุปที่ดึงมาจากตัวอย่างใดตัวอย่างหนึ่งอาจมีข้อผิดพลาดได้

มีความจำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งโดยการใช้เหตุผลและการพิสูจน์

การพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

/ +/ ค = 2ง;
/ ข+/ ค = 2ง;

(เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 2 ง).

/ +/ ค = / ข+/ ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเสมอภาคนี้ก็เท่ากับ 2 เช่นกัน งและด้านขวาก็เท่ากับ 2 เช่นกัน ง).

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมเดียวกันด้วย กับ.

ถ้าเราลบจำนวนที่เท่ากันจากจำนวนที่เท่ากัน จำนวนที่เท่ากันก็จะยังคงอยู่ ผลลัพธ์จะเป็น: / ก = / ขนั่นคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

เมื่อพิจารณาถึงปัญหาของมุมแนวตั้ง ก่อนอื่นเราจะอธิบายก่อนว่ามุมใดเรียกว่าแนวตั้ง กล่าวคือ คำนิยามมุมแนวตั้ง

จากนั้นเราได้ตัดสิน (คำสั่ง) เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของมุมแนวตั้งและมั่นใจในความถูกต้องของการตัดสินนี้ผ่านการพิสูจน์ การตัดสินดังกล่าวซึ่งต้องพิสูจน์ความถูกต้องนั้นเรียกว่า ทฤษฎีบท- ดังนั้น ในส่วนนี้ เราจึงให้คำจำกัดความของมุมแนวตั้ง และยังระบุและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมเหล่านั้นด้วย

ในอนาคต เมื่อศึกษาเรขาคณิต เราจะต้องพบกับคำจำกัดความและการพิสูจน์ทฤษฎีบทอยู่ตลอดเวลา

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วม

บนภาพวาด 79 / 1, / 2, / 3 และ / 4 อยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นและมีจุดยอดร่วมบนเส้นนี้ โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมตรง กล่าวคือ
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ง.

บนภาพวาด 80 / 1, / 2, / 3, / 4 และ / 5 มีจุดยอดร่วม โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมเต็ม เช่น / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ง.

การออกกำลังกาย.

1. มุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งคือ 0.72 ง.คำนวณมุมที่เกิดจากเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกัน

2. พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก

3. พิสูจน์ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากันด้วย

4. รูปวาด 81 มีมุมที่อยู่ติดกันกี่คู่?

5. มุมที่อยู่ติดกันคู่หนึ่งสามารถประกอบด้วยมุมแหลมสองมุมได้หรือไม่? จากมุมป้านสองมุมเหรอ? จากมุมขวาและมุมป้าน? จากมุมขวาและมุมแหลม?

6. ถ้ามุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก แล้วขนาดของมุมที่อยู่ติดกันจะเป็นอย่างไร?

7. ถ้ามุมหนึ่งอยู่ตรงที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น แล้วมุมอีกสามมุมที่เหลือจะมีขนาดเท่าไร?

เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีหลายแง่มุมมาก พัฒนาตรรกะ จินตนาการ และสติปัญญา แน่นอนเนื่องจากความซับซ้อนและมีทฤษฎีบทและสัจพจน์จำนวนมากทำให้เด็กนักเรียนไม่ชอบมันเสมอไป นอกจากนี้ จำเป็นต้องพิสูจน์ข้อสรุปของคุณอย่างต่อเนื่องโดยใช้มาตรฐานและกฎเกณฑ์ที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป

มุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้งเป็นส่วนสำคัญของเรขาคณิต แน่นอนว่าเด็กนักเรียนหลายคนชื่นชอบพวกเขาเพราะคุณสมบัติของพวกเขาชัดเจนและพิสูจน์ได้ง่าย

การก่อตัวของมุม

มุมใดๆ จะเกิดขึ้นจากการตัดเส้นตรงสองเส้นหรือลากรังสีสองเส้นจากจุดหนึ่ง สามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวอักษรหนึ่งตัวหรือสามตัวซึ่งจะกำหนดจุดที่สร้างมุมตามลำดับ

มุมมีหน่วยวัดเป็นองศาและสามารถเรียกต่างกันได้ (ขึ้นอยู่กับค่า) จึงมีมุมฉาก แหลม ป้าน และกางออก แต่ละชื่อสอดคล้องกับหน่วยวัดระดับหนึ่งหรือตามช่วงเวลา

มุมแหลมคือมุมที่มีขนาดไม่เกิน 90 องศา

มุมป้านคือมุมที่มากกว่า 90 องศา

มุมจะถูกเรียกทันทีเมื่อระดับของมันคือ 90

ในกรณีที่เกิดขึ้นจากเส้นตรงต่อเนื่องกันเส้นหนึ่งและมีการวัดระดับเป็น 180 เรียกว่าขยาย

มุมที่มีด้านร่วมซึ่งมีด้านที่สองต่อเนื่องกัน เรียกว่า ด้านประชิด อาจมีคมหรือทื่อก็ได้ จุดตัดของเส้นทำให้เกิดมุมที่อยู่ติดกัน คุณสมบัติของพวกเขามีดังนี้:

1. ผลรวมของมุมเหล่านี้จะเท่ากับ 180 องศา (มีทฤษฎีบทที่พิสูจน์เรื่องนี้) ดังนั้นใครๆ ก็สามารถคำนวณอันใดอันหนึ่งได้อย่างง่ายดายหากรู้อีกอันหนึ่ง
2. จากจุดแรกจะตามมาว่ามุมที่อยู่ติดกันไม่สามารถเกิดจากมุมป้านสองมุมหรือมุมแหลมสองมุมได้

ด้วยคุณสมบัติเหล่านี้ ทำให้สามารถคำนวณองศาของมุมโดยพิจารณาจากค่าของมุมอื่นหรืออย่างน้อยก็อัตราส่วนระหว่างมุมเหล่านั้นได้เสมอ

มุมแนวตั้ง

มุมที่มีด้านต่อเนื่องกันเรียกว่าแนวตั้ง พันธุ์ใดก็ได้ที่สามารถทำหน้าที่เป็นคู่นี้ได้ มุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ

เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงตัดกัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะมีมุมที่อยู่ติดกันอยู่เสมอ มุมหนึ่งสามารถอยู่ติดกันสำหรับมุมหนึ่งและแนวตั้งสำหรับอีกมุมหนึ่งพร้อมกัน

เมื่อข้ามเส้นที่กำหนดจะพิจารณามุมประเภทอื่นอีกหลายประเภทด้วย เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นตัด (secant) ซึ่งก่อให้เกิดมุมด้านเดียวและมุมขวาง พวกเขาเท่าเทียมกัน สามารถดูได้จากคุณสมบัติที่มีในมุมแนวตั้งและมุมที่อยู่ติดกัน

ดังนั้นหัวข้อเรื่องมุมจึงดูเรียบง่ายและเข้าใจได้ คุณสมบัติทั้งหมดง่ายต่อการจดจำและพิสูจน์ การแก้ปัญหาไม่ใช่เรื่องยากตราบใดที่มุมมีค่าเป็นตัวเลข ต่อมาเมื่อการศึกษาเรื่องบาปและคอสเริ่มต้นขึ้น คุณจะต้องจดจำสูตรที่ซับซ้อนมากมาย ข้อสรุปและผลที่ตามมา ก่อนหน้านั้นคุณก็สามารถเพลิดเพลินไปกับปริศนาง่าย ๆ ที่คุณต้องค้นหามุมที่อยู่ติดกัน

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราขยายด้านของมุมใดๆ ออกไปเลยจุดยอด เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): ∠ABC และ ∠CBD ซึ่งด้าน BC เป็นเรื่องธรรมดา และอีกสองมุม AB และ BD ก่อตัวเป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเป็นมุมร่วมและอีกสองมุมเป็นเส้นตรง เรียกว่า มุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นที่กำหนด) เราจะได้มุมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างเช่น ∠ADF และ ∠FDB เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมที่อยู่ติดกันจะรวมกันเป็นมุมตรง ดังนั้น ผลรวมของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°

ดังนั้น มุมฉากจึงสามารถกำหนดเป็นมุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบขนาดของมุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่ง เราก็สามารถหาขนาดของมุมอีกมุมที่อยู่ติดกันได้

ตัวอย่างเช่น ถ้ามุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันเป็น 54° มุมที่สองจะเท่ากับ:

180° - 54° = ลิตร 26°

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านข้างของมุมเกินจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในรูปที่ 75 มุม EOF และ AOC เป็นแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งอยู่ต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

ให้ ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(รูปที่ 76) ∠2 ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° เช่น 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณได้ว่า ∠3 และ ∠4 มีค่าเท่ากับเท่าใด

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 77)

เราจะเห็นว่า ∠1 = ∠3 และ ∠2 = ∠4

คุณสามารถแก้ไขปัญหาเดียวกันได้อีกหลายอย่าง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน: มุมแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ การพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละรายการนั้นไม่เพียงพอ เนื่องจากบางครั้งข้อสรุปที่ดึงมาจากตัวอย่างใดตัวอย่างหนึ่งอาจมีข้อผิดพลาดได้

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งด้วยการพิสูจน์

การพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

∠+∠ค= 180°;

∠ข+∠ค= 180°;

(เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180°)

∠+∠ค = ∠ข+∠ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับ 180° และด้านขวาก็เท่ากับ 180° เช่นกัน)

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมเดียวกันด้วย กับ.

ถ้าเราลบจำนวนที่เท่ากันจากจำนวนที่เท่ากัน จำนวนที่เท่ากันก็จะยังคงอยู่ ผลลัพธ์จะเป็น: ∠ก = ∠ขนั่นคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วม

ในการวาด 79, ∠1, ∠2, ∠3 และ ∠4 จะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นและมีจุดยอดร่วมบนเส้นนี้ โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมตรง กล่าวคือ

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

ในรูปที่ 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 และ ∠5 มีจุดยอดร่วม มุมเหล่านี้รวมกันเป็นมุมเต็ม นั่นคือ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°

วัสดุอื่นๆ

ในกระบวนการศึกษาหลักสูตรเรขาคณิต แนวคิดเรื่อง "มุม" "มุมแนวตั้ง" "มุมที่อยู่ติดกัน" มักเกิดขึ้นบ่อยครั้ง การทำความเข้าใจข้อกำหนดแต่ละข้อจะช่วยให้คุณเข้าใจปัญหาและแก้ไขได้อย่างถูกต้อง มุมที่อยู่ติดกันคืออะไร และจะระบุได้อย่างไร?

มุมที่อยู่ติดกัน - คำจำกัดความของแนวคิด

คำว่า "มุมที่อยู่ติดกัน" แสดงถึงมุมสองมุมที่เกิดจากรังสีร่วมและเส้นครึ่งเส้นอีกสองเส้นที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รังสีทั้งสามออกมาจากจุดเดียวกัน เส้นครึ่งเส้นทั่วไปจะเป็นด้านของทั้งด้านหนึ่งและอีกมุมหนึ่งพร้อมๆ กัน

มุมที่อยู่ติดกัน - คุณสมบัติพื้นฐาน

1. จากสูตรของมุมที่อยู่ติดกัน จะสังเกตได้ง่ายว่าผลรวมของมุมดังกล่าวจะทำให้เกิดมุมกลับด้านเสมอ โดยมีการวัดระดับเป็น 180°:

• ถ้า μ และ η เป็นมุมที่อยู่ติดกัน ดังนั้น μ + η = 180°
• เมื่อทราบขนาดของมุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่ง (เช่น μ) คุณสามารถคำนวณการวัดระดับของมุมที่สอง (η) ได้อย่างง่ายดายโดยใช้นิพจน์ η = 180° – μ

2. คุณสมบัติของมุมนี้ช่วยให้เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: มุมที่อยู่ติดกับมุมขวาก็จะเป็นมุมฉากเช่นกัน

3. เมื่อพิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tg, ctg) ตามสูตรการลดสำหรับมุมที่อยู่ติดกัน μ และ η สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

• บาป = บาป (180° – μ) = บาปμ
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ

มุมที่อยู่ติดกัน-ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด M, P, Q – ΔMPQ ค้นหามุมที่อยู่ติดกับมุม ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM

• ลองขยายแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้วยเส้นตรง
• เมื่อรู้ว่ามุมที่อยู่ติดกันประกอบกันเป็นมุมกลับด้าน เราจะพบว่า:

ที่อยู่ติดกับมุม ∠QMP คือ ∠LMP

ที่อยู่ติดกับมุม ∠MPQ คือ ∠SPQ

ที่อยู่ติดกับมุม ∠PQM คือ ∠HQP

ตัวอย่างที่ 2

ค่าของมุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งคือ 35° องศาของมุมที่สองที่อยู่ติดกันคือเท่าใด?

• มุมสองมุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ 180°
• ถ้า ∠μ = 35° ดังนั้น แสดงว่าอยู่ติดกัน ∠η = 180° – 35° = 145°

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดค่าของมุมที่อยู่ติดกันหากทราบว่าการวัดระดับของมุมใดมุมหนึ่งนั้นมากกว่าการวัดระดับของมุมอื่นถึงสามเท่า

• ให้เราแสดงขนาดของมุมหนึ่ง (เล็กกว่า) ด้วย – ∠μ = แล
• จากนั้นตามเงื่อนไขของปัญหา ค่าของมุมที่สองจะเท่ากับ ∠η = 3λ
• จากคุณสมบัติพื้นฐานของมุมที่อยู่ติดกัน μ + η = 180° จะตามมา

แลมบ์ + 3เล = μ + η = 180°,

แล = 180°/4 = 45°

ซึ่งหมายความว่ามุมแรกคือ ∠μ = λ = 45° และมุมที่สองคือ ∠η = 3λ = 135°

ความสามารถในการใช้คำศัพท์ตลอดจนความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของมุมที่อยู่ติดกัน จะช่วยคุณแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้มากมาย

มุมสองมุมจะเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกมุมหนึ่งของมุมเหล่านี้เรียกว่ารังสีคู่ขนาน ในรูปที่ 20 มุม AOB และ BOC อยู่ติดกัน

ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

ทฤษฎีบท 1 ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°

การพิสูจน์. ลำแสง OB (ดูรูปที่ 1) ผ่านไประหว่างด้านข้างของมุมที่กางออก นั่นเป็นเหตุผล ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

จากทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน

มุมแนวตั้งจะเท่ากัน

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นรังสีประกอบกันของอีกมุมหนึ่ง มุม AOB และ COD, BOD และ AOC ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นจะเป็นแนวตั้ง (รูปที่ 2)

ทฤษฎีบท 2 มุมแนวตั้งเท่ากัน

การพิสูจน์. ลองพิจารณามุมแนวตั้งของ AOB และ COD (ดูรูปที่ 2) มุม BOD อยู่ประชิดแต่ละมุม AOB และ COD ตามทฤษฎีบท 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°

จากนี้ เราสรุปได้ว่า ∠ AOB = ∠ COD

ข้อพิสูจน์ 1. มุมที่อยู่ติดกับมุมขวาคือมุมฉาก

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน AC และ BD (รูปที่ 3) พวกมันประกอบกันเป็นสี่มุม หากหนึ่งในนั้นตรง (มุม 1 ในรูปที่ 3) มุมที่เหลือก็จะเป็นมุมฉากเช่นกัน (มุม 1 และ 2, 1 และ 4 อยู่ติดกัน, มุม 1 และ 3 เป็นแนวตั้ง) ในกรณีนี้ พวกเขากล่าวว่าเส้นเหล่านี้ตัดกันที่มุมฉากและเรียกว่าตั้งฉาก (หรือตั้งฉากกัน) ความตั้งฉากของเส้น AC และ BD แสดงได้ดังนี้: AC ⊥ BD

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนคือเส้นตั้งฉากกับส่วนนี้และลากผ่านจุดกึ่งกลาง

AN - ตั้งฉากกับเส้น

พิจารณาเส้นตรง a และจุด A ที่ไม่ได้วางอยู่บนนั้น (รูปที่ 4) ลองเชื่อมต่อจุด A กับเซกเมนต์กับจุด H ด้วยเส้นตรง a ส่วน AN เรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด A ไปยังเส้น a ถ้าเส้น AN และ a ตั้งฉากกัน จุด H เรียกว่าฐานของเส้นตั้งฉาก

การวาดสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 3 จากจุดใดก็ตามที่ไม่อยู่บนเส้น คุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นนี้ และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

หากต้องการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงในภาพวาด ให้ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 5)

ความคิดเห็น การกำหนดทฤษฎีบทมักประกอบด้วยสองส่วน ส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่ได้รับ ส่วนนี้เรียกว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบท อีกส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ส่วนนี้เรียกว่าบทสรุปของทฤษฎีบท ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 คือมุมต่างๆ เป็นแนวตั้ง สรุป - มุมเหล่านี้เท่ากัน

ทฤษฎีบทใด ๆ สามารถแสดงรายละเอียดด้วยคำพูดเพื่อให้เงื่อนไขเริ่มต้นด้วยคำว่า "ถ้า" และสรุปด้วยคำว่า "แล้ว" ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทที่ 2 สามารถระบุรายละเอียดได้ดังนี้: “หากมุมสองมุมเป็นแนวตั้ง มุมทั้งสองจะเท่ากัน”

ตัวอย่างที่ 1มุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งคือ 44° อีกอันเท่ากับอะไร?

สารละลาย. ให้เราแสดงระดับของมุมอื่นด้วย x จากนั้นเป็นไปตามทฤษฎีบทที่ 1
44° + x = 180°
เมื่อแก้สมการผลลัพธ์ เราจะพบว่า x = 136° ดังนั้นอีกมุมหนึ่งคือ 136°

ตัวอย่างที่ 2ให้มุม COD ในรูปที่ 21 เป็น 45° มุม AOB และ AOC คืออะไร?

สารละลาย. มุม COD และ AOB เป็นแนวตั้ง ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1.2 จึงเท่ากัน นั่นคือ ∠ AOB = 45° มุม AOC อยู่ติดกับมุม COD ซึ่งหมายถึงตามทฤษฎีบทที่ 1
∠ AOC = 180° - ∠ ซีโอดี = 180° - 45° = 135°

ตัวอย่างที่ 3ค้นหามุมที่อยู่ติดกันหากมุมใดมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกมุมหนึ่ง 3 เท่า

สารละลาย. ให้เราแสดงหน่วยวัดระดับของมุมที่เล็กกว่าด้วย x แล้วค่าองศาของมุมที่ใหญ่กว่าจะเป็น 3x เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180° (ทฤษฎีบท 1) ดังนั้น x + 3x = 180° โดยที่ x = 45°
ซึ่งหมายความว่ามุมประชิดคือ 45° และ 135°

ตัวอย่างที่ 4ผลรวมของมุมแนวตั้งสองมุมคือ 100° ค้นหาขนาดของมุมทั้งสี่แต่ละมุม

สารละลาย. ให้รูปที่ 2 ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา มุมแนวตั้งของ COD ถึง AOB เท่ากัน (ทฤษฎีบทที่ 2) ซึ่งหมายความว่าการวัดระดับของมุมทั้งสองจะเท่ากัน ดังนั้น ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ผลรวมตามเงื่อนไขคือ 100°) มุม BOD (เช่น มุม AOC) อยู่ติดกับมุม COD ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1
∠ บีโอดี = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°

บทความที่คล้ายกัน