⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).

U+21D2 ⇒

⇒ {\displaystyle \Rightarrow }
→ {\displaystyle \to } \to
⊃ {\displaystyle \supset }
⟹ {\displaystyle \implies } \implies

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= {\displaystyle:=} :=
≡ {\displaystyle \equiv }
⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow }

U+0028 U+0029 () () {\displaystyle (~)} () U+22A2 ⊢ ⊢ {\displaystyle \vdash } \vdash U+22A8 ⊨ ⊨ {\displaystyle \vDash } \vDash , знак для оператора И-НЕ.

U+22A7 ⊧ Импликация (логическое следование): является моделью для … . Например, A ⊧ B означает, что из A следует B. В любой модели, где A ⊧ B, если А верно, то и B верно.

U+22A8 ⊨ Истина: является истиной.

U+22AC ⊬ Невыводимо: отрицание ⊢, символ невыводимо , например, T ⊬ P означает, что «P не является теоремой в T »

U+22AD ⊭ Неверно: не является истиной

U+22BC ⊼ НЕ-И: другой оператор НЕ-И, может быть записан также как ∧

U+22BD ⊽ ИЛИ-НЕ: оператор Исключающее ИЛИ, может быть записан также как V

U+22C4 ⋄ Ромб: модальный оператор для «возможно, что», «не обязательно нет» или, редко, «непротиворечиво» (в большинстве модальных логик оператор определяется как «¬◻¬»)

U+22C6 ⋆ Звёздочка: обычно используется как специальный оператор

U+22A5 ⊥ Кнопка вверх или U+2193 ↓ Стрелка вниз: стрелка Пирса , символ исключающего ИЛИ . Иногда «⊥» используется для противоречия или абсурда.

• U+2310 ⌐ Отменённый НЕ

Следующие операторы редко поддерживаются стандартными фонтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные фонты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать фонты на компьютер.

Польша и Германия

В Польше квантор всеобщности иногда записывается как ∧ {\displaystyle \wedge } , а квантор существования как ∨ {\displaystyle \vee } . То же самое наблюдается в немецкой литературе.

Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе - также получается в виде напряжения определенного уровня.

Операнды в данном случае подаются - на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня - это логическая единица 1 - обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 - значение ложное. 1 - ИСТИНА, 0 - ЛОЖЬ.

Логический элемент - элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами. Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.

В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.

Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей - интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) - являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.

Логический элемент «И» - конъюнкция, логическое умножение, AND

«И» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.

Условные обозначения логических элементов «И» с разным количеством входов приведены на рисунке. В тексте логический элемент «И» с тем или иным числом входов обозначается как «2И», «4И» и т. д. - элемент «И» с двумя входами, с четырьмя входами и т. д.

Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.

На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «&».

Логический элемент «ИЛИ» - дизъюнкция, логическое сложение, OR

«ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию дизъюнкции или логического сложения. Он так же как и элемент «И» выпускается с двумя, тремя, четырьмя и т. д. входами и с одним выходом. Условные обозначения логических элементов «ИЛИ» с различным количеством входов показаны на рисунке. Обозначаются данные элементы так: 2ИЛИ, 3ИЛИ, 4ИЛИ и т. д.

Таблица истинности для элемента «2ИЛИ» показывает, что для появления на выходе логической единицы, достаточно чтобы логическая единица была на первом входе ИЛИ на втором входе. Если логические единицы будут сразу на двух входах, на выходе также будет единица.

На западных схемах значок элемента «ИЛИ» имеет закругление на входе и закругление с заострением на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1».

Логический элемент «НЕ» - отрицание, инвертор, NOT

«НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического отрицания. Данный элемент, имеющий один выход и только один вход, называют еще инвертором, поскольку он на самом деле инвертирует (обращает) входной сигнал. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «НЕ».

Таблица истинности для инвертора показывает, что высокий потенциал на входе даёт низкий потенциал на выходе и наоборот.

На западных схемах значок элемента «НЕ» имеет форму треугольника с кружочком на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1», с кружком на выходе.

Логический элемент «И-НЕ» - конъюнкция (логическое умножение) с отрицанием, NAND

«И-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Другими словами, это в принципе элемент «И», дополненный элементом «НЕ». На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2И-НЕ».

Таблица истинности для элемента «И-НЕ» противоположна таблице для элемента «И». Вместо трех нулей и единицы - три единицы и ноль. Элемент «И-НЕ» называют еще «элемент Шеффера» в честь математика Генри Мориса Шеффера, впервые отметившего значимость этой в 1913 году. Обозначается как «И», только с кружочком на выходе.

Логический элемент «ИЛИ-НЕ» - дизъюнкция (логическое сложение) с отрицанием, NOR

«ИЛИ-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Иначе говоря, это элемент «ИЛИ», дополненный элементом «НЕ» - инвертором. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2ИЛИ-НЕ».

Таблица истинности для элемента «ИЛИ-НЕ» противоположна таблице для элемента «ИЛИ». Высокий потенциал на выходе получается лишь в одном случае - на оба входа подаются одновременно низкие потенциалы. Обозначается как «ИЛИ», только с кружочком на выходе, обозначающим инверсию.

Логический элемент «исключающее ИЛИ» - сложение по модулю 2, XOR

«исключающее ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения по модулю 2, имеет два входа и один выход. Часто данные элементы применяют в схемах контроля. На рисунке приведено условное обозначение данного элемента.

Изображение в западных схемах - как у «ИЛИ» с дополнительной изогнутой полоской на стороне входа, в отечественной - как «ИЛИ», только вместо «1» будет написано «=1».

Этот логический элемент еще называют «неравнозначность». Высокий уровень напряжения будет на выходе лишь тогда, когда сигналы на входе не равны (на одном единица, на другом ноль или на одном ноль, а на другом единица) если даже на входе будут одновременно две единицы, на выходе будет ноль - в этом отличие от «ИЛИ». Данные элементы логики широко применяются в сумматорах.

Язык этой книги, как и большинства математических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем распространенные символы математической логики для обозначения соответственно отрицания «не» и связок «или», «влечет», «равносильно».

Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес высказывания:

L. «Если обозначения удобны для открытий то поразительным образом сокращается работа мысли» Лейбниц).

Р. «Математика - это искусство называть разные вещи одинаковыми именами» (А. Пуанкаре).

G. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей).

Тогда в соответствии с указанными обозначениями:

Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка, - не всегда разумно.

Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, составленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

При таком соглашении выражение следует расшифровать как соотношение - как , но не как .

Записи , означающей, что А влечет В или, что то же самое, В следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, говоря, что В есть необходимый признак или необходимое условие А и, в свою очередь, А - достаточное условие или достаточный признак В. Таким образом, соотношение А В можно прочитать любым из следующих способов:

А необходимо и достаточно для В;

А тогда и только тогда, когда В;

А, если и только если В;

А равносильно В.

Итак, запись А В означает, что А влечет В и, одновременно, В влечет А.

Употребление союза и в выражении пояснений не требует.

Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении союз или неразделительный, т. е. высказывание считается верным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например, пусть х - такое

действительное число, что Тогда можно написать, что имеет место следующее соотношение:

2. Замечания о доказательствах.

Типичное математическое утверждение имеет вид , где А - посылка, заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением

В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: если А истинно и , то В тоже истинно.

При доказательстве от противного мы будем использовать также принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание (А или не А) считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно принимаем, что , т. е. повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

3. Некоторые специальные обозначения.

Для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знаками соответственно.

Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посредством специального символа (равенство по определению), в котором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предполагается известным.

Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных выражений. Например, запись

вводит обозначение для стоящей слева суммы специального вида.

4. Заключительные замечания.

Отметим, что мы здесь говорили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводимости, составляющих предмет исследования математической логики.

Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями.

Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были открыты еще в XVII-XVIII веках, но приобрели современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной теории действительных чисел (XIX век).

Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе II построение всего здания анализа.

Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомиться с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с III главы, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости.

Упражнения

Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные - символом 0. Тогда каждому из высказываний можно сопоставить так называемую таблицу истинности, которая указывает его истинность в зависимости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы являются формальным определением логических операций Вот они:

1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением о соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание на то, что если А ложно, то импликация всегда истинна.)

2. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широко используемые в математических рассуждениях соотношения:

Математика характерно широкое использование символики, которая, до сути, является аппаратом формальной логики. Формальная, или символическая, логика - это специальный метод познания структуры мышления. Такой разработанный аппарат используют везде. В математике многие важные положения удается записывать в виде символов. Запись логических рассуждений в символах придает доказательствам более краткий, простой вид. Формальная логика оперирует высказываниями (из них, кстати, состоит и наша речь). Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно истинно или ложно. Пример 1.3. „Москва - столица России**, „Петров И.И. - студент МГТУ ", х2+у2 = 1, х € R - высказывания; х2 -2х + + У2 - не является высказыванием. # Соединяя простые высказывания словами „и", „или", „не", „если..., то", мы получаем более сложные высказывания, которые определяют нашу речь. В математике эти слова называют логическими связками, в формальной логике они соответствуют основным логическим символам, на которых мы кратко и остановимся. 1. Конъюнкцией pAq высказываний р и q называют высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания (и р, и q) истинны. Логический симвЪл конъюнкции А заменяет в речи союз „и". Конъюнкцию обозначают также р & q. 2. Дизъюнкцией pW q высказываний р и q называют высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда оба высказывания ложны, а истинно, когда хотя бы одно из них (р или q) истинно. Логический символ дизъюнкции V в речи заменяет слово „или". 3. Импликацией р => q высказываний р и q называют высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда р истинно, a q - ложно. Логический символ импликации => используют при указании на последствия некоторого факта. Он заменяет слова „если..., то". Можно также читать „р влечет qu. 4. Логический символ эквиваленции & означает, что высказывание р q истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания р и q истинны или оба высказывания ложны. Этот символ заменяет в речи слово „равносильно". 5. Отрицанием высказывания р называют высказывание -»р, которое истинно, если р ложно, и ложно, когда р истинно. Логический символ -» в речи заменяет слово „не". Для сокращения и уточнения записи высказываний вводят два знака V и 3, называемых соотвеНекоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. тственно кванторами общности и существования. Выражение „для всякого элемента х множества Еи записывают в виде Vs 6 Е. Эта запись означает, что утверждение, следующее за ней, будет выполнено для произвольного элемента множества Е. Запись V&i, «2» хп€Е означает: „каковы бы ни были элементы xi, 32, хп множества Еи. Выражение „существует по крайней мере один элемент множества Е, такой, что..." заг писывают Зх £ Е: ... Все, что следует за этой записью, выпол- дается хотя бы для одного элемента множества Е. Наоборот, $х е Е: ... означает, что все следующее далее не выполняется ни для одного элемента из Е. Выражение „ существует один и только один элемент из Е, такой, что...u записывают в виде Э!ж € Е: ... Запись Зх\} хз, хп € Е: ... означает: ясуществуют такие элементы х\у а?2» » я» множества Е, что...ц. Введенными символами удобно пользоваться, например, при определении операций над множествами. Так, AUB:<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>{х: {х € А) Л (ж € В)}, А\В:*>{х: {х € А) Л (х g В)}, А:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А => В предполагают, что верно -«В. Если рассуждения приводят к тому, что при таком предположении условие А невыполнимо, т.е. возникает противоречие, то теорему считают доказанной. Пример 1.6. Используем метод доказательства от противного, чтобы убедиться в справедливости второго закона де Моргана (1.7) AC\B = AUB. Если это равенство верно, то каждый элемент х € А П В должен принадлежать и A U В, т.е. х € A U В. Предположим противное: s £ AUB. Тогда по принципу двойственности (см. 1.4) х € АПВ, т.е. х ^ АПВ, а это противоречит исходному условию х € А П В, что доказывает справедливость импликации высказываний х€ АГ\В=>хе лив. Наоборот, каждый элемент х 6 A U В должен принадлежать и Л Г) В, т.е. х € А О В. Снова предположим противное: х £ i АП В, т.е. х £ АП В, или (хбА)Л(хбВ). Тогда (х£А)Л Л (х £ В) и х £ AUB, а это опять противоречит принятому условию х £ A U В, что доказывает справедливость обратной импликации высказываний х€ АПВ«=х€ AUB. Некоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. В итоге справедливость второй формулы (1.7) доказана полностью. # При доказательстве предложений, справедливых для произвольного натурального числа п G N, иногда применяют метод математической индукции: непосредственной проверкой устанавливают справедливость предложения для нескольких первых значений п (n= 1, 2, ...), а затем предполагают, что оно верно для п = к} и если из этого предположения следует справедливость данного предложения для п = к -f 1, то его считают доказанным для всех п € N. Пример 1.7. Докажем справедливость формулы «П = «1 (1.8) для суммы первых п членов геометрической прогрессии 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 со знаменателем прогрессии q ^ 1. Ясно, что формула верна для п= 1 и п = 2. Предположим, что она верна и для п = к, т.е. Некоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. Если в (1.9) обозначить к +1 = п, то снова придем к (1.8), что доказывает справедливость этой формулы.

В дальнейшем никакие специальные логические символы не ис­пользуются. Учитывая, однако, то, что читателю, возможно, придется читать и книги, в которых такая символика применяется, приведем в ка­честве примера основные, наиболее часто употребляемые логические символы.

Традиционная логика на протяжении двух с лишним тысяч лет поль­зовалась для описания мышления обычным языком. Только в XIX в. по­степенно утвердилась мысль, что для целей логики необходим особый искусственный язык, строящийся по строго сформулированным прави­лам. Этот язык не предназначается для общения. Он должен служить только одной задаче - выявлению логических связей наших мыслей, но решаться эта задача должна с предельной эффективностью.

Принципы построения искусственного логического языка хорошо разработаны в современной логике. Создание его имело примерно такое же значение в области мышления для техники логического вывода, какое в области производства имел переход от ручного труда к труду механизи­рованному.

Специально созданный для целей логики язык получил название формализованного. Слова обычного языка заменяются в нем отдель­ными буквами и различными специальными символами. Формализо­ванный язык - это «насквозь символический» язык, в котором нет ни одного слова обычного языка. В формализованном языке содержатель­ные выражения заменяются буквами, а в качестве логических символов

(логических постоянных) используются символы со строго определенным значением.

В логической литературе используются различные системы обозна­чений, поэтому ниже даются два и более вариантов символов.

Знаки, служащие для обозначения отрицания; читаются: «не», «неверно что»;

Знаки для обозначения логической связки, называемой конъюнкцией; читаются: «и»;

Знак для обозначения логической связки, называемой неисклю­чающей дизъюнкцией; читается: «или»;

Знак для обозначения строгой, или исключающей, дизъюнк­ции; читается: «либо, либо»;

Знаки для обозначения импликации; читаются: «если, то»;

Знаки для обозначения эквивалентности высказываний; читаются: «если и только если»;

Квантор общности; читается: «для всякого», «всем»;

Квантор существования; читается «существует», «имеется по крайней мере один»;

L, N, - знаки для обозначения модального оператора необходимос­ти; читаются: «необходимо, что»;

М - знак для обозначения модального оператора возможности; читается: «возможно, что».

Наряду с перечисленными, в многообразных системах логики исполь­зуются и другие специфические символы, при этом каждый раз разъясня­ется, что именно тот или иной символ обозначает и как он читается.

В качестве знаков препинания в искусственных языках логики ис­пользуются, как и в языке математики, скобки.

Возьмем, для примера, некоторые содержательные высказывания и приведем рядом их запись на языке логики:

А) «Тот, кто ясно мыслит, ясно говорит» -; буква А обозна­чает высказывание «Человек ясно мыслит», В - высказывание «Чело­век ясно говорит»,- связка «если, то»;

Б) «Он - образованный человек и неправда, что он не знаком с со­нетами Шекспира» -; А - высказывание «Он образованный человек», В - «Он не знаком с сонетами Шекспира»,- связка «и»,

В) «Если свет имеет волновую природу, то, когда он представляется ввиде потока частиц (корпускул), допускается ошибка» -

; А - «Свет имеет волновую природу», В - «Свет представляется в виде потока частиц», С - «Допускается ошибка»;

Г) «Если вы были в Париже, то вы видели Лувр или видели Эйфелеву башню» -- «Вы были в Париже», В - «Вы видели Лувр», С - «Вы видели Эйфелеву башню»;

4. Логическая символика

Д) «Если какое-то вещество нагревать, то оно расплавится или испа­рится, но оно может также взорваться» - (А ^ (В v С v Д)); А - «Ве­щество нагревается», В - «Вещество расплавляется», С - «Вещество испаряется», D - «Вещество взрывается».

Приведем еще один простой пример перехода от искусственного язы­ка логики к обычному языку. Пусть переменная А представляет выска­зывание «Теория Дарвина является научной», В - «Теория Дарвина может быть подтверждена опытными данными», С - «Теория Дарвина может быть опровергнута опытными данными». Какие содержательные высказывания выражаются формулами:

А) А ^ (В ^ С);

Б) (В л ~ С) ^ ~ А;

В) (~ В л ~ С) ^ ~ А?

Ответом на этот вопрос являются, соответственно, три высказывания:

А) Если теория Дарвина научна, то если она может быть подтвержде­на опытными данными, она может быть также опровергнута ими;

Б) Если теория Дарвина может быть подтверждена опытными данны­ми, но не может быть опровергнута ими, она не научна;

В) Если теория Дарвина не может быть подтверждена опытными дан­ными и не может быть опровергнута ими, она не научна.

Похожие статьи